f(x)=x^3-3*x+1

f'(x)=3x^2-3
f'(x)>0,得x>1或x<-1
f'(x)<0,得-1<x<1

f(x)极大=f(-1)=3,f(x)极小=f(1)=-1
又f(-5)=-109,f(5)=111
所以f(x)值域为[-109，111]

f(x)=x³-3x+1
f(x)′=3x²-3=0，解得x=±1；
从高次函数图像的特征看，在平面直角坐标系中，
沿x轴右方往左方看：
f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
f(x)在(-1，1)上单调递减；
f(x)在(-∞，-1]上单调递增。
据上，可以把f(x)的大概图像画出来！

依你的x∈[-5，5]可知：
f(x)的单调递增区间是：[-5，-1]∪[1，5]；
f(x)的单调递减区间是：(-1，1)。
比较f(-5)=-109、f(-1)=3、f(1)=1、f(5)=111；
由此可知：f(x)在[-5，5]上最小值是-109；最大值是111；
即x∈[-5，5]时，f(x)∈[-109，111]。

接下来，你想干嘛呐？

f(x)=x^3-3*x+1的导数为x^2-3
令3x^2-3=0，x=1或-1
f(x)极值为1
f(x)边值111和109
所以f(x)值域为[1，111]